e livre vise à faire comprendre le rôle et la pertinence des équations différentielles en génie, maîtriser les méthodes de base permettant de résoudre les équations différentielles, et connaître quelques équations aux dérivées partielles parmi les plus importantes en génie. Dans le cas des équations aux dérivées partielles, on insiste surtout sur la méthode de séparation des variables, de concert avec les séries de Fourier, pour les résoudre. Dans cette deuxième édition, plusieurs sections ont été ajoutées afin de compléter la théorie présentée dans la première édition. Puisque ce livre s’adresse avant tout aux étudiants en sciences appliquées, même si nous donnons la preuve de la plupart des résultats mathématiques présentés, les exercices sont presque tous des applications de la théorie. Les étudiants doivent généralement trouver la solution explicite d’une équation différentielle donnée, sous certaines conditions. Nous illustrons le plus souvent les concepts théoriques à l’aide d’exemples typiques. De plus, le manuel contient plus de 460 exercices, dont plusieurs sont des problèmes déjà proposés en examen. Les réponses à tous les numéros pairs sont données en appendice.
- AVANT-PROPOSDE LA DEUXIÈME ÉDITION
- AVANT-PROPOS
- 1. INTRODUCTION
- 1.1 Concept d’équation différentielle et champs de directions
- 1.2 Solutions générales et solutions particulières des équations différentielles
- 1.3 Classification des équations différentielles
- 1.4 Exercices supplémentaires
- 2. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES D’ORDRE UN
- 2.1 Équations à variables séparables
- 2.1.1 Équations homogènes
- 2.2 Équations exactes
- 2.2.1 Facteurs intégrants
- 2.3 Équations linéaires
- 2.4 Équation de Bernoulli
- 2.5 Exercices supplémentaires
- 3. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES D’ORDRE DEUX
- 3.1 Substitutions et équations homogènes à coefficients constants
- 3.1.1 Substitutions
- 3.1.2 Équations homogènes à coefficients constants
- 3.2 Ensemble fondamental de solutions
- 3.3 Racines complexes et changement de variable
- 3.3.1 Racines complexes
- 3.3.2 Changement de variable
- 3.4 Racines doubles et réduction d’ordre
- 3.4.1 Racines doubles
- 3.4.2 Réduction d’ordre
- 3.5 Points singuliers et équation d’Euler
- 3.5.1 Points singuliers
- 3.5.2 Équation d’Euler
- 3.6 Équations non homogènes: méthode des coefficients indéterminés
- 3.7 Méthode de variation des paramètres et réduction d’ordre
- 3.7.1 Méthode de variation des paramètres
- 3.8 Équations linéaires à coefficients constants d’ordre supérieur
- 3.9 Oscillations dans les systèmes mécaniques et circuits électriques
- 3.10 Solutions en séries entières
- 3.10.1 Équation de Bessel d’ordre zéro
- 3.11 Méthode de Frobenius
- 3.12 Exercices supplémentaires
- 4. SYSTÈMES D’ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
- 4.1 Introduction
- 4.2 Systèmes linéaires homogènes d’ordre un
- 4.3 Systèmes linéaires homogènes à coefficients constants
- 4.3.1 Solutions d’équilibre et champs de directions
- 4.3.2 Solution générale
- 4.4 Systèmes linéaires non homogènes; méthode de la diagonalisation
- 4.5 Systèmes non linéaires; linéarisation et stabilité des points critiques
- 4.6 Exercices supplémentaires
- 5. TRANSFORMÉES DE LAPLACE
- 5.1 Introduction
- 5.2 Problèmes de valeur initiale
- 5.3 Équations différentielles impliquant des fonctions discontinues
- 5.4 La fonction delta de Dirac
- 5.5 Exercices supplémentaires
- 6. SÉRIES DE FOURIER
- 6.1 Ensembles de fonctions orthogonales
- 6.2 Séries trigonométriques
- 6.3 Convergence des séries de Fourier et phénomène de Gibbs
- 6.4 Séries de Fourier cosinus et sinus, et prolongements périodiques
- 6.5 Exercices supplémentaires
- 7. ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES
- 7.1 Introduction
- 7.2 Valeurs et fonctions propres
- 7.3 Méthode de séparation des variables
- 7.3.1 Méthode des similitudes
- 7.4 Équation de la chaleur
- 7.4.1 Dérivation de l’équation
- 7.4.2 Cas où la température est nulle aux extrémités
- 7.4.3 Cas où la température n’est pas nulle aux deux extrémités
- 7.4.4 Cas où la température est nulle à gauche et oscillante à droite
- 7.4.5 Cas où les extrémités sont isolées
- 7.5 Utilisation de transformées intégrales
- 7.5.1 Résolution de l’équation de la chaleur à l’aide d’une transformée de Laplace
- 7.5.2 Résolution de l’équation de la chaleur à l’aide d’unetransformée de Fourier
- 7.6 Équation de Laplace
- 7.7 Équation d’onde
- 7.7.1 Dérivation de l’équation
- 7.7.2 Solution de l’équation aux dérivées partielles
- 7.7.3 Cas où l’on tient compte de la résistance de l’air
- 7.8 Exercices supplémentaires
- RÉPONSES AUX EXERCICES (NOS PAIRS)
- BIBLIOGRAPHIE
- INDEX
- TABLE DES MATIÈRES
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